Teoremas Trigonometricos

son los ángulos de un triángulo cualquiera, y a, b, c son respectivamente las medidas de los lados opuestos a dichos ángulos,

entoces:

Teorema del seno



De acuerdo con lo anterior, se deduce que:

•Las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

•Un triángulo oblicuángulo puede resolverse aplicando el Teorema del seno, si dos de los tres elementos conocidos son un lado y su ángulo opuesto.

Teorema del coseno

De acuerdo con lo anterior, se deduce que el triangulo se puede resolver:

•Cuando conocemos los tres lados.

•Cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

•Cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman.

Teorema de la tangente



De acuerdo con lo anterior, se deduce que el triangulo se puede resolver:

•Cuando se conoce dos lados y un ángulo.

•Cuando se conoce dos ángulos y un lado.

Funciones Trigonométricas

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa exclusivamente de estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Son seis las funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante cosecante.





Funciones recíprocas


Obtención de α

CIRCUNFERENCIA y CÍRCULO

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

- Un arco: una línea curva que es un parte de la circunferencia de un círculo.


- Una cuerda: un segmento de línea que está en contacto con dos puntos del círculo.

- La circunferencia: la distancia alrededor de un círculo.

- El diámetro: la distancia mas larga desde un punto de un círculo hacía otro –se representa con la letra d-.

- El origen: el centro del círculo.

- El radio: la distancia desde el centro de un círculo hacía cualquier punto en él – se representa con la letra r-.

- Un sector: es como una rebanada de pastel -una cuña de círculo-.


- La tangente de un círculo: una línea, perpendicular al radio, que toca en solamente un punto al círculo.


En todo círculo existe una relación constante entre el diámetro y la circunferencia. Esto se demuestra prácticamente de la siguiente manera:

Utilizando un cordel del tamaño del diámetro de cada círculo se puede comprobar lo anterior al colocarlo en forma sucesiva sobre la circunferencia.

Este valor se representa con la letra griega


por lo tanto:

El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.

Polígonos

Los polígonos son figuras planas limitadas por una línea poligonal cerrada, un polígono queda determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, por sus vértices, que son formados por la intersección de dos lados consecutivos y por sus ángulos, que son los que forman cada dos lados consecutivos.

Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene cinco ángulos y cinco lados iguales se llama pentágono regular.

Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden sus ángulos internos y sus ángulos externos. En general, cuando se habla de los ángulos internos de un polígono, se le refiere en singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo valor para todos los ángulos.

Un segmento es el radio de un polígono regular si y solamente si es el radio del circulo circunscripto alrededor del polígono.

Apotema, a, es el segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono regular al punto medio de cualquiera de sus lados.

La apotema se puede calcular conociendo el lado y el radio del polígono regular.

Se llama diagonal de un polígono al trazo que une dos vértices no consecutivos.

Un polígono irregular es el cual no tiene lados iguales ó sus vértices no están contenidos en una circunferencia.

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios.

Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180°. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será 180°•(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es [180°•(n-2)]/n.

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180°, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n•180°, como los interiores suman 180°•(n-2) los exteriores suman 360°.

El perímetro de un polígono resulta de sumar la medida de cada lado del polígono.

El área de un polígono se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular.

Una forma sencilla de hacerlo es triangulando el polígono y sumando las áreas de los triángulos obtenidos, aunque esto no siempre es necesario.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.



El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Triángulos

El triángulo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.

Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C.

Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b y c.

Un triángulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados, 3 vértices.

Clasificación de los triángulos.

a) Atendiendo a sus lados

- El triángulo escaleno tiene tres lados distintos.

- El triángulo isósceles tiene dos lados iguales y otro desigual.

- El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales.



Se llama ángulo de un triángulo, al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice.

b) Atendiendo a sus ángulos:

- El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto.

- El triángulo acutángulos los tres ángulos son agudos.

- El triángulo obtusángulo tiene un ángulo obtuso.


Rectas y puntos notables en el triangulo

Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de sus respectivos lados opuestos.

El baricentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres medianas.



La distancia de un vértice del triángulo al baricentro: punto de corte de las medianas, es siempre el doble que la distancia del baricentro al punto medio del lado opuesto. Expresado de forma más simple el baricentro se encuentra del vértice a una distancia 2/3 de la mediana.



Las alturas de un triángulo son los segmentos que unen los vértices con sus respectivos lados opuestos, o con sus prolongaciones, y son perpendiculares a estos.

El ortocentro de un triángulo es el punto en el que se cortan las rectas que contienen las tres alturas.



Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.

El incentro de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.



Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados que los cortan por sus puntos medios.

El circuncentro de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres mediatrices. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.



Un ángulo exterior de un triangulo es el formado por un lado y la prolongación de otro.



Propiedades de los Triángulos

- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos.

- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto.

- Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia.

Ángulos II

El ángulo agudo es el que es formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0° y menor de 90°.

El ángulo obtuso aquel cuya amplitud es mayor a 90° y menor a 180°.

Un ángulo es convexo si mide más de 0° y menos de 180°, es decir, todos los ángulos agudos y obtusos son convexos.



El ángulo cóncavo, externo o reflejo, es el que mide más de 180° y menos de 360°.

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de 360°.